斯特瓦爾特定理給出了三角形中切氏線（Cevian）與三邊長度之間的關系，利用該定理 可以推導出著名的托勒密定理。反之，利用托勒密定理也可以推導出斯特瓦爾特定理。

一、利用斯特瓦爾特定理推導出托勒密定理

如圖1，在△ABC中，D為BC上一點，連接AD，根據斯特瓦爾特定理有：

AB2·DC ＋ AC2·BD － AD2·BC＝BC·BD·DC，

或AD2·BC＝AB2·DC ＋ AC2·BD－BC·BD·DC，

或AB2·DC ＋ AC2·BD＝AD2·BC＋BC·BD·DC。

作△ABC的外接圓（圖2），延長AD交圓于E，連接EB、EC。在四邊形ABEC中，根據托勒密定理有下列線段等式：AB·EC＋AC·BE＝BC·AE。下面介紹兩種方法證明托勒密定理。

1.直接利用斯特瓦爾特定理公式推導出托勒密定理公式。

在圓內接四邊形ABEC中，根據相交弦定理得：

AD·DE＝BD·DC…………①;

易證△DAB∽△DCE，則EC/AB＝DC/AD,

即AB·DC＝AD·EC…………②;

同理△DBE∽△DAC，則BE/AC＝BD/AD,

即AC·BD＝AD·BE…………③。

將上述三個等式分別代入斯特瓦爾特定理公式中進行變形：

AD2·BC＝AB2·DC ＋ AC2·BD－BC·BD·DC，

AD2· BC＝AB（AB· DC）＋ AC（AC· BD）－BC（BD·DC），

AD2· BC＝AB·AD·EC＋ AC·AD·BE－BC·AD·DE，

即AD·BC＝AB·EC＋ AC·BE－BC·DE，

AD·BC＋BC·DE＝AB·EC＋ AC·BE，

BC（AD＋DE）＝AB·EC＋ AC·BE，

則AB·EC＋AC·BE＝BC·AE成立。

2.根據圖2中的三個線段等式關系（AD· DE＝BD· DC，EC/AB＝DC/AD, BE/AC＝BD/AD）及斯特瓦爾特定理公式（AB2·DC ＋ AC2·BD＝AD2·BC＋BC·BD·DC）對托勒密定理公式AB·EC＋AC·BE＝BC·AE的左側表達式進行變形得：

AB·EC＋AC·BE

=AB2·EC/AB＋AC2·BE/AC

= AB2·DC/AD＋AC2·BD/AD

=（AB2·DC＋AC2·BD）/AD

=（AD2·BC＋BC·BD·DC）/AD

=（AD2·BC＋BC·AD· DE）/AD

= AD·BC＋BC·DE

= BC（AD＋DE）

= BC·AE，

故AB·EC＋AC·BE＝BC·AE成立。

二、直接利用托勒密定理推導斯特瓦爾特定理

根據圖2圓內接四邊形ABEC中已知的線段等量關系，將托勒密定理公式直接變形如下：

AB·EC＋AC·BE＝BC·AE，

AB2·EC/AB＋AC2·BE/AC＝BC·AE，

AB2·DC/AD＋AC2·BD/AD＝BC·AE，

AB2·DC＋AC2·BD＝BC·AE·AD，

AB2·DC＋AC2·BD＝BC·AD（AD+DE），

AB2·DC＋AC2·BD＝BC·AD 2+BC·AD·DE，

AB2·DC＋AC2·BD＝BC·AD 2+BC·BD·DC，即

AB2·DC ＋ AC2·BD － AD2·BC＝BC·BD·DC成立。